¿Cuánto cambia el foco al poner un filtro? Una aplicación didáctica de la ley de Snell

Cuando se observa con telescopio, al pasar de observación sin filtro a observar a través de un filtro se produce un cambio en la posición del foco: hay que volver a enfocar. Esto sucede tanto en observación visual como fotográfica. ¿Cuánto hay que desplazar el enfoque al insertar un filtro en el camino óptico? Circula una regla empírica que dice: «el foco se alarga en un tercio del grosor del filtro». Esta norma práctica funciona, pero solo las mentes más intrépidas e inquietas disponen de la demostración de su porqué. Además, esta pieza sencilla de óptica geométrica puede resultar interesante como ejercicio sobre las leyes de la refracción de la luz en distintos niveles educativos. ¡Vamos a ello!

Partimos de la situación sin filtro. En la figura 1 se representa en blanco el eje óptico del telescopio y hemos trazado en amarillo un rayo de luz que emerge del telescopio y termina cruzándose con el eje en la posición del plano focal. Esta es la situación de partida, absolutamente simple, en la que el rayo de luz corta el eje óptico con un ángulo de incidencia que hemos etiquetado como θ₁. Se indica el índice de refracción del medio de propagación, n₁. Si el medio es el aire (o el vacío), entonces n₁ = 1. Esta sería la situación sin filtro y tenemos que tomar como referencia la posición inicial del foco, el punto de corte entre el rayo de luz y el eje óptico.

Procedemos ahora a insertar el filtro. La situación resultante se representa en la figura 2, donde la masa del filtro se muestra en color azul oscuro y su índice de refracción se indica como n₂. Vemos que el rayo original, amarillo, se refracta hacia la línea perpendicular al filtro (la normal) y sigue un camino que hemos trazado en rojo. Cuando el rayo atraviesa todo el grosor del filtro se vuelve a refractar: esta vez se aparta de la normal y recupera la dirección original de incidencia, pero este rayo emergente, que seguimos trazando en rojo, corta ahora el eje óptico algo más allá del foco original, más a la derecha en el diagrama. Está claro que el foco del sistema se encuentra algo desplazado, pero ¿cuánto exactamente?

Podemos cuantificar ese desplazamiento, pero primero debemos etiquetar de algún modo las magnitudes relevantes. Ya hemos elegido símbolos para los índices de refracción y el ángulo de incidencia (θ₁). Ahora, en la figura 3, designamos algunas de las otras variables relevantes. Llamamos θ₂ al ángulo de refracción, es decir, el que forma el rayo de luz con la normal después de haber entrado en la masa del filtro. Observemos que a la salida del filtro la luz recupera el ángulo de incidencia original, que  vuelve a ser el que forma el rayo con el eje óptico en la intersección. Representamos como g el grosor del filtro. La cantidad h, que resultará clave para la solución del problema, no es más que la distancia entre las normales al filtro en el punto de incidencia y el punto de salida de la luz.

Solo nos falta ahora relacionar esta situación con la de partida representada en la figura 1, en la que no había filtro interpuesto. Para ello combinamos los dos recorridos de la luz en un solo diagrama, el de la figura 4. Aquí el rayo de luz original se sigue representando en amarillo y cruza la escena como si no hubiera filtro. El rayo rojo sigue correspondiendo a la luz refractada a causa del filtro. Ahora se ve con toda claridad que el foco se ha desplazado hacia la derecha al insertar el filtro, porque el rayo rojo corta el eje óptico más lejos que el rayo amarillo. La distancia entre los dos puntos de corte es justo el valor que queremos determinar y se indica con la letra s. Es muy importante percatarse de que s no es más que la distancia horizontal entre ambos rayos, el amarillo y el rojo, y que se puede medir sobre el eje óptico o en cualquier otro lugar del gráfico. En la figura 4 el valor de s se señala en dos lugares. Primero, en el sitio nativo, sobre el eje óptico, pero más a la izquierda indicamos su valor medido en el último tramo del recorrido de la luz dentro del filtro. Si se toma la normal al filtro en el punto de salida del rayo rojo, al seguirla hacia la izquierda se acaba llegando al rayo amarillo original y el trecho recorrido es, por supuesto, la distancia horizontal entre ambos rayos, o sea, s. El resto del argumento consiste ya solo en razonar sobre la geometría del diagrama de la figura 4 y, por supuesto, introducir la ley de la refracción o ley de Snell.

Abordemos el problema. Ante todo, recordemos la ley de Snell, que establece la relación siguiente entre los índices de refracción y los ángulos de incidencia y de refracción:

Aplicamos ahora la geometría elemental al diagrama de la figura 4 y nos percatamos de que es válida la relación siguiente:

La aproximación final identifica el seno del ángulo con la tangente. Esta aproximación resulta extremadamente buena porque estamos trabajando con ángulos pequeños, lo cual suele ser cierto en la mayoría de situaciones. El caso en que la aproximación no rige queda fuera del alcance de este ejercicio, pero diremos algo al respecto al final.

Razonando de un modo parecido sobre el rayo no refractado se deduce la relación siguiente:

Igualamos el valor de h en las dos últimas ecuaciones para obtener:

Donde, además, para el último paso se ha introducido la ley de Snell que permite eliminar los senos de los ángulos en favor de los índices de refracción. El resultado es bien simple, pero todavía lo podemos condensar más si introducimos algunos valores habituales. Por un lado, lo normal es que todo el sistema funcione en el aire, por lo que el índice de refracción n₁ se puede igualar a la unidad, como ya se indicó más arriba. Pero resulta, por otro lado, que muchos vidrios usados en óptica tienen índices de refracción muy parecidos a 1.5, es decir, 3/2. En estas condiciones se obtiene justo la regla empírica habitual: «un milímetro de desplazamiento del foco por cada tres milímetros de grosor del filtro».

Por supuesto, si se desea una precisión mayor hay que tener en cuenta el índice de refracción exacto del material con que esté hecho el filtro. En filtros complejos, como los interferenciales o los preparados con sustancias líquidas, la relación entre grosor y desplazamiento del foco puede apartarse algo más del valor habitual de un tercio, pero la regla empírica siempre ofrece una aproximación buena en torno a la cual afinar el ajuste del sistema óptico.

En términos cualitativos, el foco se desplaza más cuanto más grueso sea el recorrido de la luz en el interior del filtro. Este principio ayuda a entender, también de manera cualitativa, lo que ocurre cuando los rayos de luz inciden con ángulos acusados y deja de ser válida la aproximación de ángulos pequeños, que nos permitió más arriba identificar las tangentes de los ángulos con sus senos. Si se comparan dos rayos que inciden sobre un mismo filtro, uno con un ángulo más acusado y otro con un ángulo menor (más cercano a la normal), se ve que el rayo inclinado recorre más grosor de vidrio. Por eso los rayos más inclinados experimentan más desplazamiento de foco. Cuando se observa con campos amplios, los rayos más inclinados son justo los que proceden de la periferia del campo visual, lo que conduce a concluir que no es posible enfocar a la perfección y al mismo tiempo el centro y la periferia. Muchas veces es suficiente encontrar un valor de compromiso, pero no está de más recordar que al introducir filtros siempre se induce este fenómeno, conocido como curvatura de campo y que consiste en que la superficie focal deja de ser un plano y pasa a convertirse en algo más complejo, una especie de menisco que aparece cóncavo desde el punto de vista del ojo o de la cámara. Si se elaboran las ecuaciones en detalle sin aplicar la aproximación de ángulos pequeños se obtiene la expresión exacta de este efecto.