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Exoplanetas: movimiento reflejo de una estrella con un planeta

Algunos de los métodos más importantes para la detección de planetas extrasolares se basan en detectar y medir el movimiento que el planeta induce sobre su estrella. Esta es la base del método de velocidad radial y, también, del método astrométrico que con tanto éxito está aplicando la misión espacial Gaia de la Agencia Espacial Europea.

Como es sabido, no es del todo riguroso decir que la Tierra gira alrededor del Sol (o que la Luna gira en torno a la Tierra), sino que, más bien, tanto el Sol como la Tierra giran a la vez en torno al centro de masas común (Tierra y Luna dan vueltas alrededor de su centro de masas). Por supuesto, el centro de masas en un sistema de dos cuerpos de masas muy diferentes, como podrían ser el Sol y la Tierra, se encuentra muy cerca del objeto más masivo. Así, en el caso terrestre tenemos que la Tierra se mueve en un año a lo largo de una órbita muy grande, mientras que el Sol tarda el mismo tiempo en recorrer una órbita mucho menor. Se deduce que la Tierra debe moverse con una velocidad grande, pero que el Sol debe ir muy despacio porque invierte el mismo tiempo en recorrer un perímetro minúsculo.

La misma situación se suele dar en los sistemas planetarios extrasolares, donde lo normal es tener una estrella masiva rodeada de un planeta mucho más ligero. El movimiento reflejo de la estrella en torno al centro de masas es la clave para detectar el planeta según los métodos indicados más arriba.

Calcular el valor de este movimiento reflejo es bastante sencillo, al menos en el caso de órbitas circulares, y está al alcance del alumnado de secundaria. Los únicos conceptos necesarios son los siguientes:

  1. Ley de la gravitación universal de Newton
  2. Expresión de la aceleración centrípeta
  3. Centro de masas de un sistema de dos cuerpos

Planteamos ante todo la notación de acuerdo con la figura siguiente:

Figura 1. Estrella (izquierda, en amarillo) y planeta (derecha, en marrón). Notación par resolver el problema del movimiento reflejo de la estrella, supuesta órbita circular. CM indica el centro de masas. La estrella tiene masa M y el planeta m. La estrella dista R del centro de masas, mientras que la distancia de ese punto al planeta se indica como r. La suma R+r, separación entre los centros de los objetos, se nota como A. Si el origen de longitudes se coloca e la estrella, la coordenada x del CM es R y la del planeta A=R+r.

Lo primero que hay que hacer es determinar la posición del centro de masas (CM en la figura) que, en las condiciones establecidas en este diagrama, tiene como coordenada R. A partir de la definición de centro de masas se deduce fácilmente que R=mA/(M+m). De un modo similar se concluye que la distancia del centro de masas al planeta es r=MA/(M+m).

La fuerza que actúa entre los dos objetos no es sino la de la gravitación universal, de la misma magnitud para ambos cuerpos, si bien con sentidos opuestos y, naturalmente, puntos de aplicación también distintos.  En la figura 2 planteamos la magnitud o módulo de esta fuerza en la parte superior.

Figura 2. Arriba consta el módulo de la fuerza de atracción gravitatoria entre la estrella y el planeta. Debajo, a la izquierda, se calculan los módulos de la fuerza centrípeta y la velocidad lineal de la estrella en su órbita en torno al centro de masas. A la derecha se hace lo propio para el planeta.

Si la órbita es circular, esa fuerza gravitatoria, actuando sobre la estrella, se puede identificar con la fuerza centrípeta que la mantiene en movimiento alrededor del centro de masas, y que se plantea en la columna izquierda de la misma figura. Si se igualan las dos expresiones (fuerza gravitatoria y su interpretación como fuerza centrípeta en este caso), un par de manipulaciones sencillas conduce a la fórmula para el módulo V de la velocidad con que la estrella recorre su órbita de radio R alrededor del centro de masas.

La misma figura presenta a la derecha la formulación análoga para el planeta.

Los resultados se pueden aplicar a cualquier combinación de estrella y planeta y, para ello, proponemos usar la hoja de cálculo que se puede descargar de este enlace, muy sencilla y preparada para el programa de libre distribución y código abierto LibreOffice.

La hoja contiene, en tonos rojos, algunos datos de partida que no se deben modificar. Para usarla hay que introducir los datos de estrella y planeta en la parte de tonos verdes. Mientras que la masa de la estrella solo se puede introducir en unidades de la masas solar, la del planeta se puede dar de dos maneras: o bien en masas de Júpiter, o bien en masas de la Tierra, y hay que dejar a cero la opción que no se quiera utilizar.

Los resultados aparecen abajo en las tablas de tonos azules. Veamos un ejemplo de uso, aplicado al Sol y el planeta Júpiter:

Espero que esta idea sencilla resulte útil como aplicación didáctica en cursos de enseñanza secundaria.